Question

6．如图所示的几何体中，ABC-A₁B₁C₁为三棱柱，且AA₁⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．
（Ⅰ）若AA₁=AC，求证：AC₁⊥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）若CD=2，AA₁=λAC，二面角C-A₁D-C₁的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，求三棱锥C₁-A₁CD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若AA₁=AC，根据线面垂直的判定定理即可证明AC₁⊥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）建立坐标系，根据二面角C-A₁D-C₁的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，求出λ的值，根据三棱锥的体积公式进行计算即可．

解答 证明：（Ⅰ）若AA₁=AC，则四边形ACC₁A₁为正方形，则AC₁⊥A₁C，
∵AD=2CD，∠ADC=60°，∴△ACD为直角三角形，则AC⊥CD，
∵AA₁⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC₁A₁，则CD⊥A₁C，
∵A₁C∩CD=C，∴AC₁⊥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）若CD=2，∵∠ADC=60°，∴AC=2$\sqrt{3}$，
则AA₁=λAC=2$\sqrt{3}$λ，建立以C为坐标原点，CD，CB，CC₁分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则C（0，0，0），D（2，0，0），A（0，2$\sqrt{3}$，0），C₁（0，0，2$\sqrt{3}$λ），A₁（0，2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$λ），
则$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（2，-2$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$λ），$\overrightarrow{CD}$=（2，0，0），$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），
设面CA₁D的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）．
则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=2x-2$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$λz=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CD}$=2x=0，
则x=0，y=-λz，令z=1，则y=-λ，则$\overrightarrow{m}$=（0，-λ，1）
设面A₁DC₁的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=2x-2$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$λz=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$=2$\sqrt{3}$y=0，
则y=0，2x-2$\sqrt{3}$λz=0，令z=1，则x=$\sqrt{3}$λ，
则$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$λ，0，1），
∵二面角C-A₁D-C₁的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{λ}^{2}•\sqrt{1+3{λ}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即（1+λ²）（1+3λ²）=8，
得λ=1，
即AA₁=AC，
则三棱锥C₁-A₁CD的体积V=V${\;}_{D-{A}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{3}CD•\frac{1}{2}AC•A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}$=4．

点评 本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥体积的计算，根据二面角的关系建立坐标系求出λ的值是解决本题的关键．