Question

16．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若$cosA=\frac{1}{7}$，求$\frac{c}{a}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理及三角函数恒等变换的应用化简已知可得sinC=2cosBsinC，结合0＜C＜π，sinC≠0，可求$cosB=\frac{1}{2}$，结合范围0＜B＜π，即可求得B的值．
（Ⅱ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，利用三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式可求sinC的值，利用正弦定理即可计算得解$\frac{c}{a}$的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵2bcosC+c=2a，
由正弦定理，得2sinBcosC+sinC=2sinA，------------（2分）
∵A+B+C=π，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，…（4分）
∴2sinBcosC+sinC=2（sinBcosC+cosBsinC），
∴sinC=2cosBsinC，
∵0＜C＜π，∴sinC≠0，
∴$cosB=\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，∴$B=\frac{π}{3}$．------------（6分）
（Ⅱ）∵三角形ABC中，$B=\frac{π}{3}$，$cosA=\frac{1}{7}$，
∴$sinA=\frac{{4\sqrt{3}}}{7}$，-------------（8分）
∴$sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$，…（10分）
∴$\frac{c}{a}=\frac{sin∠ACB}{sin∠BAC}=\frac{5}{8}$．------------（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理及三角函数恒等变换的应用，考查了同角三角函数基本关系式，正弦函数的图象和性质，三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．