Question

7．已知关于x的不等式|x-1|-|x+1|＞|4m-2|的解集不是空集．
（1）求实数m的取值集合M；
（2）若a∈M，b∈M，设minA表示数集A的最小数，I=min{2$\sqrt{a}$，$\frac{4\sqrt{ab}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，2$\sqrt{b}$}，求证：I≤2．

Answer 1

分析 （1）先求出|x-1|-|x+1|的范围，根据不等式|x-1|-|x+1|＞|4m-2|的解集不是空集，得到|4m-2|＜2，求出m的范围即可；
（2）分别求出I≤2$\sqrt{a}$，I≤$\frac{4\sqrt{ab}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$，I≤2$\sqrt{b}$，得到I³的范围，从而求出I的范围即可．

解答 解：（1）∵-2≤|x-1|-|x+1|≤2，
又不等式|x-1|-|x+1|＞|4m-2|的解集不是空集，
∴|4m-2|＜2，解得：0＜m＜1，
∴实数m的取值集合M={m|0＜m＜1}；
（2）由（1）得：0＜a＜1，0＜b＜1，
又I=min{2$\sqrt{a}$，$\frac{4\sqrt{ab}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，2$\sqrt{b}$}，
∴I≤2$\sqrt{a}$，I≤$\frac{4\sqrt{ab}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$，I≤2$\sqrt{b}$，
∴I³≤2$\sqrt{a}$•$\frac{4\sqrt{ab}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$•2$\sqrt{b}$=$\frac{16ab}{{a}^{2}{+b}^{2}}$≤$\frac{16ab}{2ab}$=8，
∴I≤2．

点评 本题考查了不等式问题，考查绝对值的意义，是一道中档题．