Question

19．圆x²+y²-2x+4y-20=0截直线5x-12y+c=0的弦长为8，
（1）求c的值；
（2）求直线y=x-11上的点到圆上点的最短距离．

Answer 1

分析 （1）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，利用垂径定理求得c值；
（2）化直线方程为一般式，求出圆心到直线的距离，减去半径得答案．

解答 解：（1）由x²+y²-2x+4y-20=0，得（x-1）²+（y+2）²=5²，
∴圆心坐标为（1，-2），半径r=5，
∵圆x²+y²-2x+4y-20=0截直线5x-12y+c=0的弦长为8，
∴圆心到直线5x-12y+c=0的距离为3，即$\frac{|5+24+c|}{13}=3$，解得：c=10或c=-68；
（2）由y=x-11，得x-y-11=0，
圆心（1，-2）到直线的距离d=$\frac{|1+2-11|}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$，
∴直线y=x-11上的点到圆上点的最短距离为$4\sqrt{2}-5$．

点评 本题考查直线与原点位置关系，考查了点到直线距离公式的应用，是基础题．