Question

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且b，a，b+c成等比数列．
（1）证明：cosA=$\frac{c-b}{2b}$；
（2）求$\frac{a+c}{b}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由等比数列的性质可得a²=b（b+c）=b²+bc，由余弦定理即可证明cosA=$\frac{c-b}{2b}$．
（2）设公比是q（q＞0），则可得：a=bq，b+c=aq，解得b=$\frac{a}{q}$，c=aq-$\frac{a}{q}$，由a+b＞c，可得q²-q-2＜0，解得q∈（0，2），由$\frac{a+c}{b}$=q²+q-1，在（0，2）单调递增，可求$\frac{a+c}{b}$＜5，又a+c＞b，可得：$\frac{a+c}{b}$＞1，从而得解其取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）证明：∵b，a，b+c成等比数列，可得：a²=b（b+c）=b²+bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-（{b}^{2}+bc）}{2bc}$=$\frac{c（c-b）}{2bc}$=$\frac{c-b}{2b}$，得证…4分
（2）解：由b，a，b+c成等比数列，设公比是q（q＞0），则可得：a=bq，b+c=aq，解得：b=$\frac{a}{q}$，c=aq-$\frac{a}{q}$，
∵a+b＞c，可得：a+$\frac{a}{q}$＞aq-$\frac{a}{q}$，解得：q²-q-2＜0，解得：-1＜q＜2，即得：q∈（0，2），
∵$\frac{a+c}{b}$=$\frac{a+aq-\frac{a}{q}}{\frac{a}{q}}$=q²+q-1=（q+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，在（0，2）单调递增，
故可得：$\frac{a+c}{b}$=$\frac{a+aq-\frac{a}{q}}{\frac{a}{q}}$=q²+q-1＜（2+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$=5，
又∵a+c＞b，可得：$\frac{a+c}{b}$＞1，
∴$\frac{a+c}{b}$∈（1，5）…12分

点评 本题主要考查了等比数列的性质，二次函数的图象和性质，余弦定理，不等式的解法及其应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．