Question

20．如图，在三棱锥A-BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．
（I）求证：AE⊥BD；
（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B-AC-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质定理进行证明即可．
（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解．

解答 证明：（I）∵AB=AD，E为BC的中点，
∴取BD的中点0，
连接AO，OE，
则OA⊥BD，OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，
∵CD⊥BD，∴OE⊥BD，
∵BD∩OA=O，
∴AE⊥BD；
（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，
∵OA⊥BD，∴OA⊥面BCD，
建立以O为坐标原点，OE，OD，OA分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵AD=CD=2，BC=4，
∴OA=1，OB=OD=$\sqrt{3}$，
则B（0，-$\sqrt{3}$，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），A（0，0，1），C（2，$\sqrt{3}$，0），
则$\overrightarrow{AB}$=（0，-$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{AC}$=（2，$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{AD}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），
设平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{3}y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=2x+\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$，
令y=-$\sqrt{3}$，则z=3，x=3，即$\overrightarrow{m}$=（3，-$\sqrt{3}$，3），
同理可求平面ACD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，3），
|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
则sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{7}}{7}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{42}}{7}$
则二面角B-AC-D的正弦值$\frac{\sqrt{42}}{7}$．

点评 本小题主要考直线垂直的判断和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．