Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点在圆x²+y²=1上，短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k的直线经过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点，求出k为何值时，OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）由题意可得焦点为（±1，0），短轴长为2，可得b=c=1，求得a，进而得到椭圆方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=k（x-2），代入椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，化简计算即可得到所求k的值．

解答 解：（1）依题意椭圆的两个焦点在圆x²+y²=1上，短轴长为2，
可得b=1，c=1，可得a²=b²+c²=2，
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB的方程为：y=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$消去y得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
所以x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
因为OA⊥OB，所以$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
而y₁y₂=k²（x₁-2）（x₂-2），所以x₁x₂+k²（x₁-2）（x₂-2）=0，
即（1+k²）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²=0，
所以$\frac{（1+{k}^{2}）（8{k}^{2}-2）}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{16{k}^{4}}{1+2{k}^{2}}$+4k²=0，
解得：k²=$\frac{1}{5}$，
此时△＞0，所以k=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$，OA⊥OB．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．