Question

3．已知点$P（1，-\frac{3}{2}）$在椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$上，过椭圆C的右焦点F且垂直于椭圆长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若MN是过椭圆C的右焦点F的动弦（非长轴），点T为椭圆C的左顶点，记直线TM，TN的斜率分别为k₁，k₂．问k₁k₂是否为定值？若为定值，请求出定值；若不为定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据条件便可以得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\\{\frac{2{b}^{2}}{a}=3}\end{array}\right.$，解出a，b便可得出椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）可设直线MN的方程为x=ty+1，带入椭圆方程并整理便可得到（3t²+4）y²+6ty-9=0，从而由韦达定理可得到${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6t}{3{t}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{t}^{2}+4}$，而${k}_{1}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}，{k}_{2}=\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$，这样即可求得${k}_{1}{k}_{2}=-\frac{1}{4}$，即得出k₁k₂为定值，并得出该定值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\\{\frac{2{b}^{2}}{a}=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$；
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由题意知，T（-2，0），F（1，0），设直线MN的方程为x=ty+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）；
将方程x=ty+1带入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$并化简得：
（3t²+4）y²+6ty-9=0；
∴${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6t}{3{t}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{t}^{2}+4}$；
∴${k}_{1}{k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$
=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{（t{y}_{1}+3）（t{y}_{2}+3）}$
=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{t}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+3t（{y}_{1}+{y}_{2}）+9}$
=$\frac{-\frac{9}{3{t}^{2}+4}}{-\frac{9{t}^{2}}{3{t}^{2}+4}-\frac{18{t}^{2}}{3{t}^{2}+4}+9}$
=$-\frac{1}{4}$；
∴k₁k₂为定值，定值为$-\frac{1}{4}$．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，椭圆上点的坐标和椭圆方程的关系，以及过x轴上一定点（m，0）的直线方程的设法：x=ty+m，韦达定理，根据两点的坐标求过这两点直线的斜率的计算公式．