Question

14．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按 1：20进行分层抽样，随机抽取了 20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：

分数段（分）	[50，70）	[70，90）	[90，110）	[110，130）	[130，150]	总计
频数				b
频率	a	0.25

（Ⅰ）求表中 a，b 的值及成绩在[90，110）范围内的个体数，并估计这次考试全校高三数学成绩的及格率（成绩在[90，150]内为及格）；
（Ⅱ）设茎叶图中成绩在[100，120）范围内的样本的中位数为m，若从成绩在[100，120）范围内的样品中每次随机抽取1个，每次取出不放回，连续取两次，求取出两个样本中恰好一个是数字m的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由茎叶图知成绩在[50，70）范围内的有2人，在[110，130）范围内的有3人，由此能估计这次考试全校高三数学成绩的及格率．
（Ⅱ）由茎叶图得m=106，列出一切可能的结果组成的基本事件空间，设事件A=“取出的两个样本中恰好有一个是数字m”，求出A包含的基本事件个数，由此能求出∴取出两个样本中恰好一个是数字m的概率．

解答 解：（Ⅰ）由茎叶图知成绩在[50，70）范围内的有2人，在[110，130）范围内的有3人，
∴a=$\frac{2}{20}=0.1$，b=3，
成绩在[90，110）范围内的频率为1-0.1-0.25-0.25=0.4，
∴成绩在[90，110）范围内的样本数为20×0.4=8，
估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为：
p=1-0.1-0.25=0.65．
（Ⅱ）由茎叶图得m=106，
一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω={（100，102），（100，106），（100，116），（100，118），
（102，100），（102，106），（102，116），（102，118），（106，100），（106，102），（106，106），
（106，116），（106，118），（116，100），（116，102），（116，106），（116，118），（118，100），
（118，102），（118，106），（118，116），共21个基本事件组成，
设事件A=“取出的两个样本中恰好有一个是数字m”，
则A={（100，106），（102，106），（106，100），（106，102），（106，116），（106，118），（116，106），（118，106）}，
共由个基本事件组成，
∴P（A）=$\frac{8}{21}$．

点评 本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．