Question

4．在平面直角坐标系xoy中，点P到两点M$（{0，-\sqrt{3}}）$、N（0，$\sqrt{3}$）的距离之和等于4．设点P的轨迹为C．
（1）写出轨迹C的方程；
（2）设直线y=$\frac{1}{2}$x+1 与C交于A、B两点，求|AB|的长．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），运用椭圆的定义，可得2a=4，再由椭圆的a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）设P（x，y），
∵$|{PM}|+|{PN}|=4＞2\sqrt{3}=|{MN}|$，
由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以M、N为焦点，长半轴为2的椭圆，
它的短半轴b=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
故曲线C的方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
其坐标满足$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
消去y并整理得（4+k²）x²+2kx-3=0，
故x₁+x₂=-$\frac{2k}{4+{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{3}{4+{k}^{2}}$，
当k=$\frac{1}{2}$时，x₁+x₂=-$\frac{4}{17}$，x₁x₂=-$\frac{12}{17}$，
即有|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{\frac{16}{289}+\frac{48}{17}}$=$\frac{4\sqrt{65}}{17}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查弦长的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．