Question

1．已知抛物线C：x²=4y，点M是曲线C上的动点，点N的坐标是（0，2），以M点为圆心，MN为半径的圆交x轴于A，B两点．
（Ⅰ）当M是坐标原点时，求抛物线C的准线被圆M截得的弦长；
（Ⅱ）当M在抛物线上移动时．
（i）|AB|是否为定值？证明你的结论；
（ii）若$\frac{|AN|}{|BN|}=t$，求t$+\frac{1}{t}$的最大值，并求出此时圆M的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆M的方程，求得抛物线的准线方程，代入圆的方程，即可得到弦长；
（Ⅱ）（i）设M（m，$\frac{{m}^{2}}{4}$），求得圆M的标准方程，令y=0，即可得到弦长AB为定值；
（ii）可设A（m-2，0），B（m+2，0），可得t²=$\frac{（m-2）^{2}+4}{（m+2）^{2}+4}$=1-$\frac{8}{m+\frac{8}{m}+4}$，运用基本不等式和不等式的性质，可得t的范围，判断t$+\frac{1}{t}$在[$\sqrt{2}$-1，1]递减，即可得到最大值，及此时圆M的方程．

解答 解：（Ⅰ）当M是坐标原点时，圆的方程为x²+y²=4，
抛物线C：x²=4y的准线的方程为y=-1，
令y=-1，可得x²=4-1=3，即有x=±$\sqrt{3}$，
可得抛物线C的准线被圆M截得的弦长为2$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）（i）设M（m，$\frac{{m}^{2}}{4}$），
可得圆M的方程为（x-m）²+（y-$\frac{{m}^{2}}{4}$）²=m²+（$\frac{{m}^{2}}{4}$-2）²，
令y=0，可得（x-m）²+（$\frac{{m}^{2}}{4}$）²=m²+（$\frac{{m}^{2}}{4}$-2）²，
化简可得x=m-2，或x=m+2．
即有弦长AB=4，为定值；
（ii）可设A（m-2，0），B（m+2，0），
可得t²=$\frac{（m-2）^{2}+4}{（m+2）^{2}+4}$=1-$\frac{8}{m+\frac{8}{m}+4}$，
可设m≥0，由m+$\frac{8}{m}$≥2$\sqrt{m•\frac{8}{m}}$=4$\sqrt{2}$，当且仅当m=2$\sqrt{2}$时，取得等号，
可得$\sqrt{2}$-1≤t≤1，
即有t$+\frac{1}{t}$在[$\sqrt{2}$-1，1]递减，可得t=$\sqrt{2}$-1时，取得最大值，且为2$\sqrt{2}$，
当且仅当m=2$\sqrt{2}$时，取得最大值，
即有圆M的方程为（x-2$\sqrt{2}$）²+（y-2）²=8．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查直线与圆的位置关系，以及弦长的求法，同时考查对号函数的单调性的运用，属于中档题．