Question

16．在长方形ABCD中，AD=2，AB=4，点E是边CD上的一动点，将△ADE沿直线AE翻折到△AD₁E，使得二面角D₁-AE-B为直二面角，则cos∠D₁AB的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 根据二面角的定义，结合余弦定理求出BD₁²的长度关系，结合三角函数的有界性进行求解即可．

解答 解：在长方形ABCD中，过D作DO⊥AE于O，
设∠DAE=θ，则0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
则折叠后使得二面角D₁-AE-B为直二面角，
则D₁A⊥面AEB，则△D₁OB是直角三角形，
∵DO=2sinθ，AO=2cosθ，
∴OB²=4cos²θ+16-2×2cosθ×4×cos（$\frac{π}{2}$-θ）=4cos²θ+16-2×2cosθ×4×sinθ
=4cos²θ-8sin2θ+16，
则BD₁²=OD₁²+OB²=4sin²θ+16+4cos²θ-8sin2θ=20-8sin2θ，
∵BD₁²=4+16-2×4×2cos∠D₁AB=20-16cos∠D₁AB，
∴要使2cos∠D₁AB最大，则只需要BD₁²最小即可，
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，∴0＜2θ＜π，
即当sin2θ=1时，BD₁²最小，此时BD₁²=20-8=12，
由20-16cos∠D₁AB=12得cos∠D₁AB=$\frac{1}{2}$，
故选：B

点评 本题主要考查二面角的应用，结合余弦定理转化为三角函数关系是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力，综合性较强，难度较大．