Question

11．△ABC中，D为BC的中点，G为△ABC的重心，AB=AD．BG=2，则△ABC的面积最大值为7.2．

Answer 1

分析 设DG=x，则AG=2x，AB=3x，∠BAD=θ，由余弦定理求得cosθ的表达式，进而得出sinθ，求出三角形的面积关于x的函数，根据二次函数的性质求得面积的最大值．

解答 解：设DG=x，则AG=2x，∴AB=AD=3x，设∠BAD=θ，
则在△ABG中，由余弦定理得cosθ=$\frac{A{B}^{2}+A{G}^{2}-B{G}^{2}}{2AB×AG}$=$\frac{13{x}^{2}-4}{12{x}^{2}}$．
∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\sqrt{1-（\frac{13{x}^{2}-4}{12{x}^{2}}）^{2}}$=$\frac{1}{12{x}^{2}}$$\sqrt{-25{x}^{4}+104{x}^{2}-16}$．
∴S_△ABC=2S_△ABD=2×$\frac{1}{2}×AB×AD×sinθ$=$\frac{3}{4}$$\sqrt{-25{x}^{4}+104{x}^{2}-16}$．
令f（x）=-25x⁴+104x²-16=-25（x²-$\frac{52}{25}$）²+$\frac{5{2}^{2}}{25}-16$．
∴当x²=$\frac{52}{25}$时，f（x）取得最大值$\frac{5{2}^{2}}{25}-16$=92.16．
∴S_△ABC的最大值为$\frac{3}{4}×\sqrt{92.16}$=7.2．
故答案为7.2．

点评 本题考查了函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力．运算量较大，属于中档题．