Question

6．在平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$=0，AC=$\sqrt{2}$，BC=1，若将其沿AC折成直二面角D-AC-B，则AC与BD所成的角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$=0得到AC⊥CB，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量方法求出异面直线AC与BD所成角的余弦值

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$=0，AC=$\sqrt{2}$，BC=1，如图
∴AC⊥CB，
∴AC=CD=$\sqrt{3}$

过点A作AE⊥CD，
在Rt△CAD和Rt△AEC，sin∠ACD=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{AE}{AC}$，
则AE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在空间四边形中，直二面角D-AC-B，
∵BC⊥AC，BC⊥CD，
∴BC⊥平面ACD，
以C点为原点，以CD为y轴，CB为x轴，过点C与EA平行的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
∴C（0，0，0），A（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），B（0，0，1），D（0，$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{CA}$=（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），$\overrightarrow{BD}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），
∴|$\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{BD}$=2，$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{BD}$=2，
设AC与BD所成的角为θ，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{CA}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{2}{2×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查异面直线夹角求解，利用向量的方法，能降低了思维难度．注意一般地异面直线所成角与两直线方向向量夹角相等或互补，余弦的绝对值相等．