Question

16．已知圆C的方程：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且|MN|=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，求m的值；
（2）在（1）条件下，是否存在直线l：x-2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）化圆的一般式方程为标准式，由已知结合垂径定理求得m值；
（2）把圆上有四点到直线l的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，转化为圆心到直线的距离d＜1-$\frac{1}{\sqrt{5}}$，求解绝对值的不等式得答案．

解答 解：（1）圆的方程化为（x-1）²+（y-2）²=5-m，
圆心坐标为（1，2），半径为r=$\sqrt{5-m}$，
则圆心C（1，2）到直线l：x+2y-4=0的距离为d=$\frac{|1+2×2-4|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
由于|MN|=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，则$\frac{1}{2}|MN|$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，有${r}^{2}={d}^{2}+（\frac{1}{2}|MN|）^{2}$，
∴5-m=$（\frac{1}{\sqrt{5}}）^{2}+（\frac{2}{\sqrt{5}}）^{2}$，解得m=4；
（2）假设存在直线l：x-2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
由于圆心C（1，2），半径r=1，则圆心C（1，2）到直线l：x-2y+c=0的距离为：
d=$\frac{|1-2×2+c|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}=\frac{|c-3|}{\sqrt{5}}＜|1-\frac{1}{\sqrt{5}}|$，
解得：$2+\frac{\sqrt{5}}{5}＜c＜4-\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查了点到直线距离公式的应用，考查绝对值不等式的解法，是中档题．