Question

8．已知x＞0，y＞0，且x+y=1，则$\frac{4}{2x+y}+\frac{1}{y}$的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得（2x+y）+y=2，整体代入可得$\frac{4}{2x+y}+\frac{1}{y}$=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{4y}{2x+y}$+$\frac{2x+y}{y}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且x+y=1，
∴2x+2y=2，即（2x+y）+y=2，
∴$\frac{4}{2x+y}+\frac{1}{y}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{2x+y}+\frac{1}{y}$）[（2x+y）+y]
=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{4y}{2x+y}$+$\frac{2x+y}{y}$）≥$\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{4y}{2x+y}•\frac{2x+y}{y}}$）=$\frac{9}{2}$
当且仅当$\frac{4y}{2x+y}$=$\frac{2x+y}{y}$即2x+y=2y即y=2x=$\frac{2}{3}$时取等号．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体代入并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．