Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，CD⊥BD，PB⊥平面ABCD，PB=AB=AD=3，E是线段PA上一点，且$\frac{PE}{EA}$=λ．
（I）若PC∥平面BDE，求实数λ的值．
（Ⅱ）在（I）的条件下，求二面角E-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （I）建立坐标系，利用线面平行的性质结合向量法建立方程即可求实数λ的值．
（Ⅱ）在（I）的条件下，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角E-PC-D的余弦值

解答 解：（I）∵底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，CD⊥BD，PB=AB=AD=3，
∴BC=6，
∵PB⊥平面ABCD，
∴建立以B为坐标原点，BA，BC，BP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则P（0，0，3），B（0，0，0），A（3，0，0），D（3，3，0），C（0，6，0），
设E（x，0，z），
则∵$\frac{PE}{EA}$=λ，
∴$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{EA}$，
即（x，0，z-3）=λ（3-x，0，-z），
得$\left\{\begin{array}{l}{x=λ（3-x）}\\{z-3=-λz}\end{array}\right.$，得x=$\frac{3λ}{1+λ}$，z=$\frac{3}{1+λ}$，
即E（$\frac{3λ}{1+λ}$，0，$\frac{3}{1+λ}$），
若PC∥平面BDE，
则存在m，n有$\overrightarrow{PC}$=m$\overrightarrow{BE}$+n$\overrightarrow{BD}$，
即（0，6，-3）=m（$\frac{3λ}{1+λ}$，0，$\frac{3}{1+λ}$）+n（3，3，0），
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3λm}{1+λ}+3n=0}\\{3n=6}\\{\frac{3m}{1+λ}=-3}\end{array}\right.$，得n=2，λ=2，
即实数λ的值是2．
（Ⅱ）在（I）的条件下，λ=2，
则E（2，0，1），则$\overrightarrow{PC}$=（0，6，-3），$\overrightarrow{EP}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{CD}$=（3，-3，0），
设平面EPC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{PC}$=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{EP}$=0，
得$\left\{\begin{array}{l}{6y-3z=0}\\{-2x+2z=0}\end{array}\right.$，令y=1，则z=2，x=2，
则$\overrightarrow{m}$=（2，1，2），
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{PC}$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CD}$=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{6y-3z=0}\\{3x-3y=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{z=2y}\\{x=y}\end{array}\right.$
令y=1，则x=1，z=2，
即$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2+1+4}{\sqrt{4+1+4}•\sqrt{1+1+4}}$=$\frac{7}{3•\sqrt{6}}$=$\frac{7\sqrt{6}}{18}$，
即二面角E-PC-D的余弦值是$\frac{7\sqrt{6}}{18}$．

点评 本小题主要考查线面平行的判断和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．