Question

15．正方体AC₁中，BC₁与平面AB₁C所成的角是arcsin$\frac{\sqrt{6}}{3}$；A₁C与截面A₁BD所成的角是arcsin$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BC₁与平面AB₁C所成的角和A₁C与截面A₁BD所成的角．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体AC₁中棱长为1，
则B（1，1，0），C（0，1，0），A（1，0，0），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1），A₁（1，0，1），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
设平面AB₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1），
设BC₁与平面AB₁C所成的角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2|}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴θ=arcsin$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴BC₁与平面AB₁C所成的角为arcsin$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-1，1，-1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），
设截面A₁BD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=a+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=a+b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-1），
设A₁C与截面A₁BD所成的角是α，
则sinα=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$．
∴$α=arcsin\frac{1}{3}$．
∴A₁C与截面A₁BD所成的角是arcsin$\frac{1}{3}$．
故答案为：arcsin$\frac{\sqrt{6}}{3}$，arcsin$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．