Question

6．如图，几何体ABCD-B₁C₁D₁中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=a，平面B₁C₁D₁∥平面ABCD，BB₁、CC₁、DD₁都垂直于平面ABCD，且BB₁=$\sqrt{2}$a，E为CC₁的中点，F为AB的中点．
（I）求证：△DB₁E为等腰直角三角形；
（Ⅱ）求平面B₁DE与平面FDE所成的锐二面角．

Answer 1

分析 （I）通过连结BD，交AC于点O，进而利用已知条件可建立坐标系，进而利用向量知识计算即得结论；
（Ⅱ）利用（I）中有关结论计算可求出平面B₁DE的法向量$\overrightarrow{m}$=（-2，0，$\sqrt{2}$）、平面B₁DE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{2}$），进而计算可得结论．

解答 （I）证明：连结BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴BD⊥AC，
又由于BB₁、CC₁、DD₁都垂直于平面ABCD，
从而可以建系如图，则O（0，0，0），B（$\frac{1}{2}$a，0，0），D（-$\frac{1}{2}$a，0，0），
B₁（$\frac{1}{2}$a，0，$\sqrt{2}$a），A（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，0），C（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，0），
从而F（$\frac{1}{4}$a，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，0），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），
∵$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（$\frac{1}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）•（-$\frac{1}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）=0，
∴∠DEB₁=90°，
又∵$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（-$\frac{1}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），
∴|$\overrightarrow{{B}_{1}E}$|=|$\overrightarrow{DE}$|，
于是△DB₁E为等腰直角三角形；
（Ⅱ）解：由（I）可知$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（-$\frac{1}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），
$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{3}{4}$a，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，0），
设平面B₁DE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}E}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y-\sqrt{2}z=0}\\{x+\sqrt{3}y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
取z=$\sqrt{2}$，可知$\overrightarrow{m}$=（-2，0，$\sqrt{2}$），
设平面FDE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y+\sqrt{2}z=0}\\{\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，
取x=1，可知$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{2}$），
于是cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
从而所求锐二面角为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查二面角的平面角及其求法，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．