Question

5．已知数列{a_n}是以m为首项，m为公差的等差数列，数列{b_n}是以m为首项，m为公比的等比数列，其中a₂=b₂，设S_n是数列{b_n}的前n项和，则数列$\left\{{\frac{{4{b_n}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和为1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

Answer 1

分析 由题意可得：a_n=mn，b_n=mⁿ．其中a₂=b₂，可得2m=m²，m≠0，解得m．可得b_n=2ⁿ，数列{b_n}的前n项和S_n，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：由题意可得：a_n=m+m（n-1）=mn，b_n=m×m^n-1=mⁿ．
其中a₂=b₂，∴2m=m²，m≠0，解得m=2．
∴b_n=2ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2，
∴$\frac{4{b}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{4×{2}^{n}}{（{2}^{n+1}-2）（{2}^{n+2}-2）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．
∴数列$\left\{{\frac{{4{b_n}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和为=$\frac{1}{{2}^{1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．
故答案为：1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．