Question

10．已知二次函数y=f（x）的图象过坐标原点，其导函数f′（x）=6x-2，数列{a_n}前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，T_n是数列{b_n}的前n项和，求当${T_n}≥\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立m取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过图象特征及导函数可知f（x）=3x²-2x，并代入点（n，S_n）（n∈N^*）整理可知S_n=3n²-2n，进而与S_n-1=3（n-1）²-2（n-1）（n≥2）作差，计算即得结论；
（2）通过（1）裂项可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），进而并项相加可知T_n=$\frac{3n}{1+6n}$，通过T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）随着n的增大而增大可知$\frac{3}{7}$≥$\frac{m}{20}$，进而计算可得结论．

解答 解：（1）依题意，f（x）=3x²-2x，
∵点（n，S_n）（n∈N^*）均在y=f（x）的图象上，
∴S_n=f（n）=3n²-2n，
当n≥2时，S_n-1=3（n-1）²-2（n-1），
两式相减得：a_n=6n-5（n≥2），
又∵a₁=S₁=3-2=1满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=6n-5；
（2）由（1）可知${b_n}=\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{3}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{13}$+…+$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）=$\frac{3n}{1+6n}$，
∵T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）随着n的增大而增大，
∴T_n≥T₁=$\frac{3}{1+6}$=$\frac{3}{7}$，
又∵${T_n}≥\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立，
∴$\frac{3}{7}$≥$\frac{m}{20}$，解得：m≤$\frac{60}{7}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．