Question

2．某研究性学习小组为了解学生每周用于体育锻炼时间的情况，在甲、乙两所学校随机抽取了各50名学生，做问卷调查，并作出如下频率分布直方图：

（Ⅰ）根据直方图计算：两所学校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数；
（Ⅱ）在这100名学生中，要从每周用于体育锻炼时间不低于10小时的学生中选出3人，该3人中来自乙学校的学生数记为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图能求出两所学校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数．
（Ⅱ）每周体育锻炼时间不低于10个小时的学生中，甲校有2人，乙校有4人，X的所有可能取值有1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图得甲校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数为：
$\overline{{x}_{甲}}$=0.12×5.5+0.24×6.5+0.32×7.5+0.20×8.5+0.08×9.5+0.04×10.5=7.5．
乙校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数为：
$\overline{{x}_{乙}}$=0.08×5.5+0.24×6.5+0.28×7.5+0.24×8.5+0.08×9.5+0.08×10.5=7.74．
（Ⅱ）每周体育锻炼时间不低于10个小时的学生中，甲校有2人，乙校有4人，
X的所有可能取值有1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{2}^{0}{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

EX=$1×\frac{1}{5}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{5}=2$．

点评 本题考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．