Question

12．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C⊥底面ABC，∠ACB=120°，A₁C=AC=BC=2，D为AB中点．
（1）求证：平面A₁CD⊥平面A₁AB；
（2）求二面角A₁-BC-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面A₁CD⊥平面A₁AB；
（2）建立坐标系，求出平面的法向量利用向量法即可求二面角A₁-BC-C₁的余弦值．

解答 证明：（1）∵A₁C⊥底面ABC，AB?平面，
∴A₁C⊥AB，
∵AC=BC=2，D为AB中点，
∴AB⊥CD，
∵CD∩A₁C=C，
∴AB⊥平面A₁CD，
∵AB?平面A₁AB；
∴平面A₁CD⊥平面A₁AB；
（2）建立以C为坐标原点的空间直角坐标系如图：
∵∠ACB=120°，A₁C=AC=BC=2，
∴C（0，0，0），B（0，2，0），A（$\sqrt{3}$，-1，0），A₁（0，0，2），
$\overrightarrow{CB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），
$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（0，0，2），
设面A₁BC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）．
设面BCC₁的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CB}$=2y=0，
$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=-$\sqrt{3}$x+y+2z=0，
则y=0，令z=$\sqrt{3}$，则x=2，
即$\overrightarrow{n}$=（2，0，$\sqrt{3}$），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{1×\sqrt{4+3}}=\frac{2}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
即二面角A₁-BC-C₁的余弦值是$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判断以及利用空间向量求平面间的夹角．解决问题的关键在于先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出两个半平面的法向量．