Question

7．定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+4）=16，当x∈（0，4]时，f（x）=x²-2^x，则函数f（x）在[-4，2016]上的零点个数是（　　）

• A． 504
• B． 505
• C． 1008
• D． 1009

Answer 1

分析 由f（x）+f（x+4）=16可判断出f（x）=f（x+8），从而可得函数f（x）是R上周期为8的函数；而当x∈（-4，4]时，f（2）=f（4）=0；从而解得．

解答 解：当x∈（-4，0]时，x+4∈（0，4]，
f（x）=16-f（x+4）=16-（（x+4）²-2^x+4），
∵f（x）+f（x+4）=16，
∴f（x+4）+f（x+8）=16，
∴f（x）=f（x+8），
∴函数f（x）是R上周期为8的函数；
当x∈（-4，4]时，f（2）=f（4）=0；
而2020=8×252+4，
f（2）=f（10）=f（18）=…=f（8×251+2），
f（-4）=f（4）=f（8×251+4），
故函数f（x）在[-4，2016]上的零点个数是251+1+251+2=505，
故选B．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了归纳思想的应用．