Question

20．在如图所示的几何体ABCDE中，AE⊥平面DCE，BE=$\sqrt{6}$，DC=4，BD=2，CE=2$\sqrt{3}$，∠BCD=30°，CE⊥AD．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BCD；
（Ⅱ）若AE=4$\sqrt{3}$，求二面角D-AC-E（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过B作BF⊥CD于F，利用线面垂直的判定定理证明，BF∥AE，即可证明AE∥平面BCD；
（Ⅱ）若AE=4$\sqrt{3}$，根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角即可求二面角D-AC-E（锐角）的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵DC=4，BD=2，∠BCD=30°，
∴△BCD为直角三角形，则CB⊥BD，则BC=2$\sqrt{3}$，
∵CE=2$\sqrt{3}$，CE⊥AD，AE⊥平面DCE，
∴AE⊥CE，
则CE⊥平面ADE，
则CE⊥DE，
则DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=2，
∵BC=CE，DE=DE，∠ABD=∠CED=90°，
∴△CED≌△CBD，
过B作BF⊥CD于F，连接EF，则EF⊥CD，
则BF=EF=BC•sin30°=$\sqrt{3}$，
∵BE=$\sqrt{6}$
∴BF²+EF²=BE²，即BF⊥EF，
∵BF⊥CD，∴BF⊥平面CDE，
∵AE⊥平面DCE，∴BF∥AE，
∵AE?平面BCD，∴AE∥平面BCD；
（Ⅱ）若AE=4$\sqrt{3}$，
由（Ⅰ）知，DE⊥平面ACE，过E作EM⊥AC于M，连接DM，
则∠EMD是二面角D-AC-E（锐角）的平面角，
∵CE=2$\sqrt{3}$，AE=4$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{15}$，则EM=$\frac{AE•CE}{AC}$=$\frac{4\sqrt{3}•2\sqrt{3}}{2\sqrt{15}}$=$\frac{12}{\sqrt{15}}$，
则DM=$\sqrt{M{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{12}{\sqrt{15}}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{85}}{5}$，则cos∠EMD=$\frac{ME}{DM}$=$\frac{\sqrt{51}}{17}$，
二面角D-AC-E（锐角）的余弦值是$\frac{\sqrt{51}}{17}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求解，利用二面角的定义作出平面角是解决本题的关键．本题也可以建立坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．