Question

8．如图，五面体ABCDE中，AB∥CD，CB⊥平面ABE，AE⊥AB，AB=AE=2，BC=$\sqrt{2}$，CD=1．
（1）求证：直线BD⊥平面ACE；
（2）求二面角D-BE-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立坐标系，利用向量法证明直线垂直，即可证明直线BD⊥平面ACE；
（2）发求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角D-BE-C的平面角的余弦值．

解答 （1）证明：∵CB⊥平面ABE，AE⊥AB，AB=AE=2，
∴建立以B为坐标原点，BA，垂直BA的直线，BC分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵BC=$\sqrt{2}$，CD=1，
∴A（2，0，0），B（0，0，0），D（1，0，$\sqrt{2}$），C（0，0，$\sqrt{2}$），E（2，2，0），
则$\overrightarrow{BD}$=（1，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（-2，0，$\sqrt{2}$），
则$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AE}$=0，$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AC}$=-2+$\sqrt{2}×\sqrt{2}$=-2+2=0，
则$\overrightarrow{BD}$⊥$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{BD}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
即BD⊥AE，BD⊥AC，
∵AE∩AC=A，
∴BD⊥平面ACE；
（2）$\overrightarrow{BD}$=（1，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BE}$=（2，2，0），$\overrightarrow{BC}$=（0，0，$\sqrt{2}$），
设平面DBE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{BD}$=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{BE}$=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{2}z=0}\\{2x+2y=0}\end{array}\right.$．令z=-1，则x=$\sqrt{2}$，y=-$\sqrt{2}$，
即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，-1），
设平面BECE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BE}$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，则y=-1，z=0，
则$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}•\sqrt{2+2+1}}\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
即二面角D-BE-C的平面角的余弦值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本小题主要考查先面垂直的判断和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．