Question

10．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若$\frac{17}{15}$cos（A+B）-cos（A-B）=0
（1）证明：tanA•tanB=$\frac{1}{16}$；
（2）记△ABC的面积为S，求$\frac{S}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）把原等式展开两角和与差的余弦，然后化弦为切得答案；
（2）利用余弦定理及正弦定理，把$\frac{S}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}$化为含有tanC的代数式，然后利用基本不等式求解．

解答 （1）证明：由$\frac{17}{15}$cos（A+B）-cos（A-B）=0，得
17cosAcosB-17sinAsinB-15cosAcosB-15sinAsinB=0，
即2cosAcosB=32sinAsinB，
∴tanA•tanB=$\frac{1}{16}$；
（2）解：∵c²=a²+b²-2ab•cosC，且S=$\frac{1}{2}ab•sinC$，
∴$\frac{S}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}ab•sinC}{2ab•cosC}$=$\frac{1}{4}tanC$，
而tanC=-tan（A+B）=$-\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$-\frac{tanA+tanB}{1-\frac{1}{16}}=-\frac{16}{15}（tanA+tanB）$$≤-\frac{16}{15}×2\sqrt{tanAtanB}=-\frac{8}{15}$，
则$\frac{S}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}=\frac{1}{4}tanC≤-\frac{2}{15}$（当且仅当tanA=tanB=$\frac{1}{4}$时取等号）．

点评 本题考查两角和与差的余弦及正切，考查数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．