Question

5．如图，两同心圆（圆心在原点）分别与OA、OB交于A、B两点，其中A（$\sqrt{2}$，1），|OB|=$\sqrt{6}$，阴影部分为两同心圆构成的扇环，已知扇环的面积为$\frac{3π}{4}$．
（1）设角θ的始边为x轴的正半轴，终边为OA，求$\frac{tan（π-θ）cos（θ+\frac{3π}{2}）}{sin（2θ-π）}$的值；
（2）求点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据A点坐标求出θ的三角函数，利用诱导公式化简；
（2）根据扇环面积求出圆心角，得出∠xOB对应的角，利用三角函数求出B的坐标．

解答 解：（1）∵tanθ=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cos$θ=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴$\frac{tan（π-θ）cos（θ+\frac{3π}{2}）}{sin（2θ-π）}$=$\frac{-tanθsinθ}{-sin2θ}=\frac{tanθ}{2cosθ}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（2）|OA|=$\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$，设∠AOB=α，
则$\frac{1}{2}$α（|OB|²-|OA|²）=$\frac{3π}{4}$．
解得α=$\frac{π}{2}$．
∴$\sqrt{6}$cos（$θ+\frac{π}{2}$）=-$\sqrt{6}$sinθ=-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$sin（$θ+\frac{π}{2}$）=$\sqrt{6}$cosθ=2．
∴B点坐标为B（-$\sqrt{2}$，2）．

点评 本题考查了三角函数的计算，化简求值，属于基础题．