Question

19．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2a-b=2ccosB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若a=2，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理把已知的等式化边为角，即可求得角C；
（Ⅱ）利用正弦定理把b用含有角B的代数式表示，然后由角B的范围求得b的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）在锐角△ABC中，由2a-b=2ccosB，可得2sinA-sinB=2sinCcosB，
∴2sin（B+C）-sinB=2sinCcosB，
则2sinCcosB+2cosCsinB-sinB=2sinCcosB，
∴2cosCsinB-sinB=0，
∵sinB≠0，∴cosC=$\frac{1}{2}$，
又0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A+B=$\frac{2}{3}π$，A=$\frac{2}{3}π-B$，
由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得$\frac{2}{sin（\frac{2}{3}π-B）}=\frac{b}{sinB}$，
∴$b=\frac{2sinB}{sin（\frac{2}{3}π-B）}$=$\frac{2sinB}{\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}cotB+\frac{1}{2}}$，
∵$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}$，∴0＜cotB$＜\sqrt{3}$，
则0$＜\frac{\sqrt{3}}{2}cotB＜\frac{3}{2}$，$0＜\frac{\sqrt{3}}{2}cotB+\frac{1}{2}＜2$，
∵b＞0，
∴b∈（2，+∞）．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了三角形的解法，体现了极限思想方法的运用，是中档题．