Question

17．设n∈N₊，a，b∈R，函数f（x）=$\frac{alnx}{x^n}$+b，己知曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=x-l．
（I）求a，b；
（Ⅱ）求f（x）的最大值；
（Ⅲ）设c＞0且c≠l，已知函数g（x）=log_cx-xⁿ至少有一个零点，求c的最大值．

Answer 1

分析 （I）求出导数，求得切线的斜率，由切线方程可得a，b的值；
（Ⅱ）求得函数的导数和单调区间、极值，即可得到最值；
（Ⅲ）函数g（x）=log_cx-xⁿ至少有一个零点．g（x）的定义域为（0，+∞），由题意可得存在x₀＞0，使g（x₀）=0，可得log_cx₀=x₀ⁿ，运用对数换底公式，由（Ⅱ）可得c的最大值．

解答 解：（I）函数f（x）=$\frac{alnx}{x^n}$+b的导数为f′（x）=$\frac{a（1-nlnx）}{{x}^{n+1}}$，
在点（1，0）处的切线方程为y=x-l，可得
f′（1）=a=1，
由f（x）过点（1，0），有f（1）=b=0，
则a=1，b=0；
（Ⅱ）f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{n}}$，f′（x）=$\frac{1-nlnx}{{x}^{n+1}}$，
令f′（x）=0，可得1-nlnx=0，即x=${e}^{\frac{1}{n}}$，
当0＜x＜${e}^{\frac{1}{n}}$，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＞${e}^{\frac{1}{n}}$，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）在x=${e}^{\frac{1}{n}}$处取得最大值f（${e}^{\frac{1}{n}}$）=$\frac{1}{ne}$；
（Ⅲ）设c＞0且c≠l，
函数g（x）=log_cx-xⁿ至少有一个零点．
g（x）的定义域为（0，+∞），由题意可得存在x₀＞0，使g（x₀）=0．
可得log_cx₀=x₀ⁿ，由对数换底公式，可得$\frac{ln{x}_{0}}{lnc}$=x₀ⁿ，
即lnc=$\frac{ln{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{n}}$，
由（Ⅱ）可得对x₀＞0，$\frac{ln{x}_{0}}{lnc}$≤$\frac{1}{ne}$，即lnc≤$\frac{1}{ne}$，
由于lnx递增，可得c≤${e}^{\frac{1}{ne}}$，又c＞0且c≠1，
即有c的最大值为${e}^{\frac{1}{ne}}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查存在性问题的解法，注意运用参数分离和对数换底公式，属于中档题．