Question

7．已知椭圆：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，过A、B、F作圆C，若圆心C的横纵坐标相等，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得A（-a，0），B（0，b），F（c，0），即有圆心C在AF的中垂线上，可得x_C=$\frac{c-a}{2}$，再由圆的定义可得|CA|=|CB|，运用两点的距离公式和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得A（-a，0），B（0，b），F（c，0），
即有圆心C在AF的中垂线上，可得x_C=$\frac{c-a}{2}$，
由题意可得圆心C（$\frac{c-a}{2}$，$\frac{c-a}{2}$），
由|CA|=|CB|，
可得$\sqrt{（\frac{c+a}{2}）^{2}+（\frac{c-a}{2}）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{c-a}{2}）^{2}+（\frac{c-a-2b}{2}）^{2}}$，
即有（c+a）²=（c-a-2b）²，
即（2c-2b）（2a+2b）=0，
由a＞b＞0，可得c=b，
由b²=a²-c²，可得c²=2a²，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用圆的定义，以及两点的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．