Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且2a_n+1=S_n+2（n≥2）．
（1）求a₂，a₃的值．
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）分别代值计算即可，
（2）由2a_n+1=S_n+2，得到2a_n=S_n-1+2，即2a_n+1=3a_n，即可求出数列{a_n}是以1为首项，以$\frac{3}{2}$为等比的等比数列，问题得以解决．

解答 解：（1）∵a₁=1，且2a_n+1=S_n+2，
∴2a₂=S₁+2=a₁+2=1+2=3，
∴a₂=$\frac{3}{2}$，
∴2a₃=S₂+2=a₁+a₂+2=1+$\frac{3}{2}$+2=$\frac{9}{2}$，
∴a₃=$\frac{9}{4}$；
（2）∵2a_n+1=S_n+2，
∴2a_n=S_n-1+2，
∴2a_n+1-2a_n=a_n，
∴2a_n+1=3a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{2}$，
∵a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，以$\frac{3}{2}$为等比的等比数列，
∴a_n=1×（$\frac{3}{2}$）^n-1=（$\frac{3}{2}$）^n-1．

点评 本题考查了数列的递推式，a_n=s_n-s_n-1，是解题的关键，属于中档题．