Question

1．设函数f（x）=$\frac{1}{cosx}$+$\frac{a}{sinx}$，若对任意x∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式f（x）≥8恒成立，则实数a的取值范围是[3$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用参数分离法，进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．

解答 解：若对任意x∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式f（x）≥8恒成立，
即对任意x∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式$\frac{1}{cosx}$+$\frac{a}{sinx}$≥8恒成立，
即a≥8sinx-tanx，
设h（x）=8sinx-tanx，
则h′（x）=8cosx-$\frac{1}{co{s}^{2}x}$=$\frac{8co{s}^{3}x-1}{co{s}^{2}x}$，
由h′（x）＞0得8cos³x＞1，即cosx＞$\frac{1}{2}$，即0＜x＜$\frac{π}{3}$，时，函数h（x）为增函数，
由h′（x）＜0得8cos³x＜1，即cosx＜$\frac{1}{2}$，即$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{π}{2}$时，函数h（x）为减函数，
即当cosx=$\frac{1}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（$\frac{π}{3}$）=8sin$\frac{π}{3}$-tan$\frac{π}{3}$=4$\sqrt{3}-\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
故a≥3$\sqrt{3}$，
故答案为：[3$\sqrt{3}$，+∞）

点评 本题主要考查不等式恒成立的应用，利用参数分离法进行转化，利用构造法和导数法求函数的最值是解决本题的关键．