Question

8．已知函数f（x）=|x-3|-2|x+a|
（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若f（x）+x+1≤0的解集为A，且[-2，-1]⊆A，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=3代入，通过讨论x的范围，得到关于x的不等式，解出即可；（Ⅱ）问题转化为|x+a|≥2在x∈[-2，-1]恒成立，分离a，求出其范围即可．

解答 解（Ⅰ）a=3时，f（x）＞2
?|x-3|-2|x+3|＞2
?$\left\{\begin{array}{l}x≤-3\\ x+9＞2\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}-3＜x＜3\\-3x-3＞2\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}x≥3\\-x-9＞2\end{array}\right.$
即$-7＜x＜-\frac{5}{3}$，
∴不等式f（x）＞2的解集为：$\left\{{x|-7＜x＜-\frac{5}{3}}\right\}$．…（5分）
（Ⅱ）[-2，-1]⊆A
?|x-3|-2|x+a|+x+1≤0在x∈[-2，-1]恒成立
?（3-x）-2|x+a|+x+1≤0在x∈[-2，-1]恒成立
?|x+a|≥2在x∈[-2，-1]恒成立
?a≥2-x或a≤-2-x在x∈[-2，-1]恒成立
?a≥4或a≤-1．…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．