Question

3．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）左右焦点分别为F₁、F₂，以F₁F₂为边作正三角形，与双曲线在第一二象限的交点恰是所在边中点，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}+1$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}+1$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据双曲线的对称性可推断出三角形的顶点在y轴，根据正三角形的性质求得顶点的坐标，进而求得正三角形的边与双曲线的交点，代入双曲线方程与b²=c²-a²联立整理求得e．

解答 解：双曲线恰好平分正三角形的另两边，
顶点就在Y轴上坐标是（0，$\sqrt{3}$c）或（0，-$\sqrt{3}$c），
那么正三角形的边与双曲线的交点就是边的中点（$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}•c}{2}$c）
在双曲线上代入方程$\frac{{c}^{2}}{{4a}^{2}}$-$\frac{{3c}^{2}}{{4b}^{2}}$=1
联立 b²=c²-a²求得e⁴-8e²+4=0
求得e=$\sqrt{3}$+1，
故选：C．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线基础知识的综合把握，属于中档题．