Question

20．已知函数f（x）=mx+$\frac{4}{x}$，且f（4）=3．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并应用单调性的定义给予证明．

Answer 1

分析 （1）把x=4代入f（x）解出即可得出．
（2）判断f（-x）与±f（x）的关系即可得出；
（3）f（x）在（0，+∞）上单调递增．设x₁＞x₂＞0，证明f（x₁）-f（x₂）＞0即可．

解答 解：（1）∵f（4）=3，∴4m-$\frac{4}{4}$=3，∴m=1…（2分）
（2）因为f（x）=x-$\frac{4}{x}$，定义域为{x|x≠0}，关于原点成对称区间，又f（-x）=-x-$\frac{4}{-x}$=-（x-$\frac{4}{x}$）=-f（x），所以f（x）是奇函数．…（6分）
（3）f（x）在（0，+∞）上单调递增．
证明：设x₁＞x₂＞0，则f（x₁）-f（x₂）=x₁-$\frac{4}{{x}_{1}}$-（x₂-$\frac{4}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）（1+$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$）．
因为x₁＞x₂＞0，所以x₁-x₂＞0，1+$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，所以f（x₁）＞f（x₂），
因此f（x）在（0，+∞）上为单调递增的．…（12分）

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．