Question

4．若函数f（x）=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{\sqrt{a{x}^{2}+2x+3}}$的最小值为$\frac{1}{2}$，则a=-1．

Answer 1

分析 由指数函数y=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{x}$在R上是减函数知x≥2，从而化为y=$\sqrt{a{x}^{2}+2x+3}$的最小值为2，从而可得y=ax²+2x+3的最小值为4，从而求a．

解答 解：∵y=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{x}$在R上是减函数，
又∵$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{x}$≤$\frac{1}{2}$；
∴x≥2，
故y=$\sqrt{a{x}^{2}+2x+3}$的最小值为2，
故y=ax²+2x+3的最小值为4，
而y=ax²+2x+3的图象的对称轴为x=-$\frac{1}{a}$，
故y=ax²+2x+3的最小值为3-$\frac{1}{a}$=4，
故a=-1；
故答案为：-1．

点评 本题考查了指数函数，幂函数，二次函数的性质的判断与应用，同时考查了复合函数的性质的应用．