Question

2．已知△ABC的三个内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足$\frac{a}{cosA}$=$\frac{c}{2-cosC}$．
（1）若b=4，求a；
（2）若c=3，△ABC的面积为3，求证：3sinC+4cosC=5．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理化简已知，整理可得：b=2a，由b=4，即可求a的值．
（2）利用三角形面积公式可求得：sinC=$\frac{3}{{a}^{2}}$，由余弦定理可得cosC=$\frac{5{a}^{2}-9}{4{a}^{2}}$，证明等式左边等于右边即可．

解答 解：（1）∵$\frac{a}{cosA}$=$\frac{c}{2-cosC}$．整理可得：2a-acosC=ccosA，
∴由余弦定理可得：2a-a×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=c×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，整理可得：b=2a，
∵b=4，
∴解得：a=2．
（2）证明：∵△ABC的面积为3，由（1）可得：b=2a，
∴3=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×a×2a×sinC，可得：sinC=$\frac{3}{{a}^{2}}$，
∵c=3，由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}-9}{4{a}^{2}}$=$\frac{5{a}^{2}-9}{4{a}^{2}}$，
∴3sinC+4cosC=3×$\frac{3}{{a}^{2}}$+4×$\frac{5{a}^{2}-9}{4{a}^{2}}$=$\frac{9+5{a}^{2}-9}{{a}^{2}}$=5．得证．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题．