Question

12．已知x，y都是正数，且x+y=1，则$\frac{4}{x+2}$+$\frac{1}{y+1}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{13}{15}$
• B． 2
• C． $\frac{9}{4}$
• D． 3

Answer 1

分析 x，y都是正数，且x+y=1，可得y=1-x＞0，解得0＜x＜1．则$\frac{4}{x+2}$+$\frac{1}{y+1}$=$\frac{4}{x+2}$+$\frac{1}{2-x}$=f（x），利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：∵x，y都是正数，且x+y=1，∴y=1-x＞0，解得0＜x＜1．
则$\frac{4}{x+2}$+$\frac{1}{y+1}$=$\frac{4}{x+2}$+$\frac{1}{2-x}$=f（x），
f′（x）=$-\frac{4}{（x+2）^{2}}$+$\frac{1}{（2-x）^{2}}$=$\frac{（8-x）（3x-2）}{（{x}^{2}-4）^{2}}$，
可知：当x=$\frac{2}{3}$时，f（x）取得最小值，$f（\frac{2}{3}）$=$\frac{9}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．