Question

13．已知四棱锥P一ABCD，如图所示，其中平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，PA=AB=BC=AC=4，线段AC被线段BD平分．
（I）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ACD=30°，求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （I）根据面面垂直的性质定理结合线面垂直的判定定理即可证明BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）根据二面角的定义作出二面角的平面角，即可求二面角A-PC-B的余弦值．

解答 证明：（I）∵平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，
∴PA⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵AB=BC=AC=4，线段AC被线段BD平分，
∴BD⊥AC，
∵AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）由（I）得BD⊥平面PAC，
则过E作EF⊥PC于F，连接BF，
则BF⊥PC，
即∠EFB是二面角A-PC-B的平面角，
∵AB=BC=AC=4，线段AC被线段BD平分，
∴CE=2，BE=2$\sqrt{3}$，
∵PA=AC=4，
∴∠PCA=45°，
则EF=CFcos45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
则BF=$\sqrt{B{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{14}$，
即cos∠EFB=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
即二面角A-PC-B的余弦值是$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题主要考查面面垂直和线面垂直的判断以及二面角的求解，利用二面角平面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．本题也可以使用向量法进行求解．