Question

6．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求证：BD₁⊥平面AB₁C；
（2）求AB与平面AB₁C所成的角．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BD₁⊥平面AB₁C．
（2）求出$\overrightarrow{AB}$和平面AB₁C的法向量，利用向量法能求出AB与平面AB₁C所成的角．

解答 证明：（1）设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
B（1，1，0），D₁（0，0，1），A（1，0，0），B₁（1，1，1），C（0，1，0），
$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
$\overrightarrow{B{D}_{1}}$•$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=0-1+1=0，$\overrightarrow{B{D}_{1}}$•$\overrightarrow{AC}$=1-1+0=0，
∴BD₁⊥AB₁，BD₁⊥AC，
又AB₁∩AC=A，∴BD₁⊥平面AB₁C．
解：（2）$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0），
设平面AB₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1），
设AB与平面AB₁C所成的角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴θ=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴AB与平面AB₁C所成的角为arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．