Question

14．已知函数f（x）=|2x-1|+|x+1|．
（1）求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）＜a的解集为R，求参数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，解关于x的不等式，求出x的范围取并集即可；（2）求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）当$x≥\frac{1}{2}$时，f（x）=3x≥2，得到$x≥\frac{2}{3}$，
当$-1≤x≤\frac{1}{2}$时，f（x）=2-x≥2，得到-1≤x≤0，
当x＜-1时，f（x）=-3x≥2，得到x＜-1，
综上，不等式解集为$（-∞，0]∪[\frac{2}{3}，+∞）$…（5分）
（2）由题意知，f（x）≥a对一切实数x恒成立，
当$x≥\frac{1}{2}$时，$f（x）≥3x≥\frac{3}{2}$，
当$-1≤x≤\frac{1}{2}$时，$f（x）=2-x≥\frac{3}{2}$，
当x＜-1时，f（x）=-3x＞3．
综上，$f{（x）_{min}}=\frac{3}{2}$．故$a≤\frac{3}{2}$…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．