Question

9．已知函数f（x）=|x-1|-|x+2|．
（1）求证：-3≤f（x）≤3；
（2）求不等式：f（x）≥x²-2x-5的解集．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的几何意义解不等式即可；
（2）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出取并集即可．

解答 解：（1）∵f（x）=|x-1|-|x+2|≤|（x-1）-（x+2）|=3，
∴-3≤f（x）≤3；
（2）x≤-2时，f（x）=1-x+x+2=3，原不等式等价于：
$\left\{\begin{array}{l}{3{≥x}^{2}-2x-5}\\{x≤-2}\end{array}\right.$，解得：x=-2，
-2＜x＜1时，f（x）=1-x-x-2=-2x-1，原不等式等价于：
$\left\{\begin{array}{l}{-2x-1{≥x}^{2}-2x-5}\\{-2＜x＜1}\end{array}\right.$，解得：-2＜x＜1，
x＞1时，f（x）=x-1-x-2=-3，原不等式等价于：
$\left\{\begin{array}{l}{-3{≥x}^{2}-2x-5}\\{x≥1}\end{array}\right.$，解得：1≤x≤1+$\sqrt{3}$，
综上，不等式的解集是[-2，1+$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，是一道中档题．