Question

20．△ABC内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量$\overrightarrow m=（a+c，b-a）$，$\overrightarrow n=（a-c，b）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，则sinA+sinB的最大值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由向量垂直列方程得出a，b，c的关系，利用余弦定理解出C，用A表示出B，使用三角函数的恒等变换化简sinA+sinB得出最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，∴（a+c）（a-c）+b（b-a）=0，即a²+b²-c²=ab．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{1}{2}$．
∴C=$\frac{π}{3}$．
∴B=$\frac{2π}{3}-A$．
∴sinA+sinB=sinA+sin（$\frac{2π}{3}-A$）=$\frac{3}{2}sinA$+$\frac{\sqrt{3}}{2}cosA$=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）．
∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}＜$A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$．
∴当A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，sinA+sinB取得最大值$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量的垂直与数量积的关系，余弦定理，三角函数的恒等变换，属于中档题．