Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，己知椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1的右焦点F，直线x=-2，过F的直线与椭圆交于A、B两点（AB与x轴不垂直），线段的垂直平分线分别交直线L和AB于点P、C．若PC=2AB，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．

解答 解：当AB⊥x轴，AB=$\sqrt{2}$，CP=3，不合题意；
当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0，
则x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$，
则C（$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{-k}{1+2{k}^{2}}$），
且|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，
若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；
则k≠0，故PC：y+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$），P（-2，$\frac{2+5{k}^{2}}{k（1+2{k}^{2}）}$），
从而|PC|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$|x_C-x_P|=$\frac{2（3{k}^{2}+1）\sqrt{1+{k}^{2}}}{|k|（1+2{k}^{2}）}$，
由|PC|=2|AB|，可得$\frac{2（3{k}^{2}+1）\sqrt{1+{k}^{2}}}{|k|（1+2{k}^{2}）}$=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，
解得k=±1，
此时AB的方程为y=x-1或y=-x+1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．