Question

3．已知实数a，b满足a＞b，且ab=2，则$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+1}{a-b}$的最小值是$2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 实数a，b满足a＞b，且ab=2，变形为$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+1}{a-b}$=$\frac{（a-b）^{2}+2ab+1}{a-b}$=（a-b）+$\frac{5}{a-b}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵实数a，b满足a＞b，且ab=2，
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+1}{a-b}$=$\frac{（a-b）^{2}+2ab+1}{a-b}$=（a-b）+$\frac{5}{a-b}$≥2$\sqrt{（a-b）•\frac{5}{a-b}}$=2$\sqrt{5}$，当且仅当$b=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{5}}{2}$，a=$\frac{\sqrt{13}+\sqrt{5}}{2}$时取等号．
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+1}{a-b}$的最小值是 2$\sqrt{5}$．
故答案为：2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．