Question

14．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F、G分别是AB、PC、CD的中点，|PA|=|AB|=|AD|=1，
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证EF⊥CD，EF⊥PD，且|EF|=$\frac{1}{2}$|PD|；
（3）求直线PD与AC所成的角；
（4）求直线AP与平面PCD所成的角；
（5）求平面PAB与平面PCD所成的角．

Answer 1

分析 （1）g根据线面平行的判定定理即可证明EF∥平面PAD；
（2）根据线面垂直的性质定理即可证明F⊥CD，EF⊥PD，且|EF|=$\frac{1}{2}$|PD|；
（3）根据异面直线所成的角即可求直线PD与AC所成的角；
（4）根据直线和平面所成角的定义即可求直线AP与平面PCD所成的角；
（5）根据二面角的定义即可求平面PAB与平面PCD所成的角．

解答 解：（1）证明：取PD中点H，连FH，AH
则FH平行且等于$\frac{1}{2}$CD，
又CD平行且等于AB，E为AB中点，
∴FH平行且等于AE
∴AEFH为平行四边形，
从而EF∥AH，
又EF?平面PAD，AH?平面PAD，
∴EF∥平面PAD
（2）∵CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A
PA在平面PAD内，AD在平面PAD内
∴CD⊥面PAD
又∵AH?平面PAD，
∴CD⊥AH
∵EF∥AH
∴CD⊥EF；
∵PA|=|AB|=|AD|=1，H是中点，
∴AH⊥PD，且|AH|=$\frac{1}{2}$|PD|；
∵EF∥AH且EF=AH，
∴EF⊥PD，且|EF|=$\frac{1}{2}$|PD|；
（3）取PB的中点M，连接AM，OM，
则OM∥PD，
则OM与OC所成的角就是PD与AC所成的角，
则OM=$\frac{1}{2}$|PD|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
PB=$\sqrt{2}$，AM=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OA=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则OA=AM=OM，则△OAM为正三角形，
则∠AOM=60°，即直线PD与AC所成的角为60°．
（4）由（2）知AH⊥平面PAD，
则PH是PA在平面PAD上的射影，
则∠PAH为直线AP与平面PCD所成的角，
∵PA=AD，∴∠PAH=45°，
即直线AP与平面PCD所成的角为45°．
（5）过D作DN⊥平面ABCD，
则∠PDN是平面PCD与平面PCD所成的角，
同时也是平面PAB与平面PCD所成的角，
∵∠PDN=∠PAH=45°，
∴平面PAB与平面PCD所成的角是45°．

点评 本题主要考查空间直线，平面平行或垂直的位置关系的判断，以及空间角的求解，根据相应的定理和定义是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．