Question

2．已知椭圆C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过定点M（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y=kx-$\frac{1}{3}$（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和点M满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，设P（0，p），求得向量PA，PB和数量积，再由直径所对的圆周角为直角，结合向量垂直的条件，即可得到结论．

解答 解：（1）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\{b^2}+{c^2}={a^2}\\ \frac{1}{{2{a^2}}}+\frac{1}{b^2}=1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{a^2}=\frac{5}{2}\\{b^2}=\frac{5}{4}\end{array}\right.$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{2{y^2}}}{5}+\frac{{4{x^2}}}{5}=1$；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-\frac{1}{3}\\ \frac{{2{y^2}}}{5}+\frac{{4{x^2}}}{5}=1\end{array}\right.$得：9（2k²+4）x²-12kx-43=0①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁、x₂是方程①的两根，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{12k}{{9（2{k^2}+4）}}，{x_1}{x_2}=-\frac{43}{{9（2{k^2}+4）}}$，
设P（0，p），则$\overrightarrow{PA}=（{x_1}，{y_1}-p），\overrightarrow{PB}=（{x_2}，{y_2}-p）$，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}-p（{y_1}+{y_2}）+{p^2}={x_1}{x_2}+（k{x_1}-\frac{1}{3}）（k{x_2}-\frac{1}{3}）-pk（{x_1}+{x_2}）+\frac{2p}{3}+{p^2}$
=$\frac{{（18{p^2}-45）{k^2}+36{p^2}+24p-39}}{{9（2{k^2}+4）}}$
假设在y轴上存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点，
则$\overrightarrow{PA}⊥\overrightarrow{PB}$，即$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$．
即（18p²-45）k²+36p²+24p-39=0对任意k∈R恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}18{p^2}-45=0\\ 36{p^2}+24p-39=0\end{array}\right.$，
此方程组无解，
∴不存在定点满足条件．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，由韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．