Question

17．已知椭圆：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线l交椭圆于A，B两点，若AF₂+BF₂的最大值为5，则椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．

Answer 1

分析 |AF₂|+|BF₂|=4a-|AB|=8-|AB|，根据|AF₂|+|BF₂|的最大值为5，可得|AB|的最小值为3．由题意可设直线l的方程为：my=x+c，（直线l的斜率为0不必考虑），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立可得：（b²m²+4）y²-2mcb²y+b²c²-4b²=0，再利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．

解答 解：|AF₂|+|BF₂|=4a-|AB|=8-|AB|，
∵|AF₂|+|BF₂|的最大值为5，
∴|AB|的最小值为3．
由题意可设直线l的方程为：my=x+c，（直线l的斜率为0不必考虑），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+c}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：（b²m²+4）y²-2mcb²y+b²c²-4b²=0，c²=4-b²．
∴y₁+y₂=$\frac{2mc{b}^{2}}{{b}^{2}{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{{b}^{2}{c}^{2}-4{b}^{2}}{{b}^{2}{m}^{2}+4}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[\frac{4{m}^{2}{c}^{2}{b}^{4}}{（{b}^{2}{m}^{2}+4）^{2}}-\frac{4（{b}^{2}{c}^{2}-4{b}^{2}）}{{b}^{2}{m}^{2}+4}]}$=$\frac{4{b}^{2}（1+{m}^{2}）}{{b}^{2}{m}^{2}+4}$，
当m=0时，|AB|=b²；
当m≠0时，|AB|=4+$\frac{4{b}^{2}-16}{{b}^{2}{m}^{2}+4}$＞b²．
∴b²=3．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
故答案为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．

点评 本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质、弦长公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．