Question

8．已知F₁，F₂分别为椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左、右焦点，过F₁的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF₂和BF₂．
（Ⅰ）求△ABF₂的周长；
（Ⅱ）若AF₂⊥BF₂，求△ABF₂的面积．

Answer 1

分析 （I）由椭圆定义得△ABF₂的周长为4a，由此能求出结果．
（II）设直线l的方程为x=my-1，与椭圆联立，得（m²+2）y²-2my-1=0．由此利用韦达定理、向量垂直的性质、弦长公式，能求出△ABF₂的面积．

解答 解：（I）∵F₁，F₂分别为椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左、右焦点，
过F₁的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF₂和BF₂．
∴△ABF₂的周长为|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=4a=4$\sqrt{2}$．…（3分）
（II）设直线l的方程为x=my-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}-2=0}\end{array}\right.$，得（m²+2）y²-2my-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{m}^{2}+2}$，…（5分）
∵AF₂⊥BF₂，∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}•\overrightarrow{{F}_{2}B}$=0，
∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}•\overrightarrow{{F}_{2}B}$=（x₁-1）（x₂-1）
=（my₁-2）（my₂-2）+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂-2m（y₁+y₂）+4
=$\frac{-（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}-2m×\frac{2m}{{m}^{2}+2}+4$
=$\frac{-{m}^{2}+7}{{m}^{2}+2}$=0
∴m²=7．…（10分）
∴△ABF₂的面积S=$\frac{1}{2}$×|F₁F₂|×$\sqrt{（{y}_{1}{+y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{8}{9}$．…（12分）

点评 本题考查三角形的面积及周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆定义、韦达定理、向量垂直的性质、弦长公式的合理运用．